miércoles, 8 de marzo de 2017

1476 - Pares que suman cuadrados

Rafael Cerezo Perez me comentó que vio en internet lo siguiente:
La suma de los números 184 y 345, al igual que la de sus cuadrados y sus cubos dan cuadrados perfectos ¿Existen otros números con esta característica?

Buscando pares hasta el 10000, yo encontré estos pares que cumplen lo pedido,

184  y  345
736   y 1380
1656  y  3105
2944  y 5520
4600  y  8625


¿Mas ejemplos?
¿Existen pares en los cuales las sumas de potencias mas grandes además de las pedidas sean también sean cuadrados (cuarta, quinta, etc)?
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lunes, 20 de febrero de 2017

1475 - Formando primos

Hoy que es el día 51 del año, Jim wilder publicó el siguiente tweet:



Que traducido sería mas o menos así :
Para el día 51 : 51 es el menor número que puede escribirse con los números del 1 al 5 como suma de primos

Eso me dio la idea para la siguiente entrada.
Con los números del 1 al 3 podemos formar los siguientes primos : 2 y 13 cuya suma es 15, también podemos formar 2 y 31 pero la suma es mayor a la anterior, 33, por lo tanto nos quedamos con los números anteriores

Con los números del 1 al 4 podemos formar los siguientes primos :  2 y 431 cuya suma es 433 pero también podemos formar 3 y 241 cuya suma es menor, 244, por lo tanto tomamos esta como solución válida.

La idea está establecida, lograr formar con los números del 1 al n primos de forma tal que la suma de dichos primos sea la mínima posible.

Acá van los resultados que yo obtuve (sin esforzarme por encontrar las sumas menores, cosa que dejo para ustedes)

3 = 2, 13  Suma 15
4 = 3, 241 Suma 244
5 = 2, 3, 5, 41 Suma 51
6 = 461, 523 Suma 984
7 = 7, 461, 523 Suma 991
8 = 5, 7, 461, 823 Suma 1296
9 = 5, 97, 461, 823 Suma 1386
10 = 5, 461, 823, 1097 Suma 2386
11 = 5, 23, 461, 811, 1097 ó 5, 11, 461, 823, 1097 Suma 2397

Nótese que a medida que entran los números de dos cifras éstas deben permanecer juntas.
Encontrar las menores sumas de primos formados por los primeros n números.
También se puede empezar con el cero 2, 103, etc.

 







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jueves, 19 de enero de 2017

1474 - Un nuevo tipo de cuadrado mágico

En base a una idea de William Walkington y a un aporte de Inder Jeet Taneja, Walter Trump desarrolló el siguiente cuadrado mágico, que además de poseer todas las cualidades de un cuadrado mágico tradicional, el área geométrica de cada celda se corresponde con su numero.


 Se  puede leer el desarollo y la historia de estos cuadrados mágicos el el siguiente sitio : Magic squares


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domingo, 8 de enero de 2017

1473 - Números como suma de repdigits

Llamamos repdigits a los números que contienen repeticiones de un determinado dígito.
Ejemplos 11, 666, 2 , 333333, etc.
Rodolfo Kurchan propuso la semana pasada en Facebook, encontrar los menores números que no pueden formarse como suma de n repdigits.
Así la serie empieza  10, 21, 320, 2219, 32218,....
21 figura porque es el menor número que necesita al menos tres repdigitos como sumandos para poder formarse : 11+9+1, o 11+8+2, o 11+7+3, 9+8+4, etc 

 Pregunta  1 : ¿Cómo sigue la serie?

Otras de las preguntas que se hace Rodolfo son:
Supongamos que son válidos todos los números que son suma de repdigts, pero dentro de los sumandos no puede haber dos o mas repdigits de un mismo dígito (por ejemplo no es válido sumar 222+22+6, ya que hay dos repdigits del 2), 
Pregunta 2 ¿Cuál es el menor número que no se puede formar? 
Pregunta 3 ¿Cuál es el menor primo que no se puede formar con esta misma condición?
Pregunta 4 ¿Con esta nueva condición como sería la serie? 
Los primeros números serían los mismos? ya que :
10 =  9+1
21 =  11+8+2
320 = 1+9+88+222
2219 = 11 +99 +444 + 777+ 888
Pero el 131 no hay forma de lograrlo con tres repdigits de digitos distintos, como así tampoco el 861 con cuatro así que la serie en este caso empieza : 

10, 21, 131, 861,...

Pregunta 5 ¿Cual es el número con mayor cantidad de dígitos diferentes que se pueden formar sumando Repdigits que no compartan digitos entre ellos?

Por ejemplo 
12345 = 3 + 22 + 99 + 4444 + 7777
108942 = 55 + 888 + 99999 

Rodolfo me acota que en su libro "Nuevos acertijos con números" que escribió con Jaime Poniachik, había problemas como este último. Aquí van algunos de ellos:

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domingo, 1 de enero de 2017

1472 - La conjetura de Rodolfo

En la entrada 1469 les hablé  de un paper que Gustavo Piñeiro leyó y nos comentó en un grupo de chat, en el que se demostraba que cualquier número podía escribirse como la suma de al menos 49 capicúas.
En ese mismo grupo de chat, Rodolfo Kurchan nos avisó que encontró una página en la que se habla de una demostración de Javier Cilleruello en la  que cualquier número entero podía expresarse como la suma de tres capicúas.

Rodolfo investigando y probando un poco me comentó que cree que la mayor parte de los números puede expresarse como la suma de dos capicúas en tanto que el resto de los números puede expresarse como suma de dos capicúas siendo uno de ellos un capicúa especial. 
Estos capicúas especiales son números capicúas, pero a diferencia de los demás pueden tener uno o mas ceros por delante, es decir que son válidos números como 01610, 00023232000, etc.

Así por ejemplo el año que finalizó y el que acaba de comenzar se pueden expresar como :

2016 = 1441 + 575 
2017 = 1331 + 686

Inclusive números grandes como :
20149580973 = 19869096891 + 280484082

Algunos ejemplos que usan el capicúa especial:

2001 = 1001 + 0001000
20201 = 11111 + 09090
2073 = 363 + 01710
91729 = 91619 + 0110

Ahora bien, la pregunta que se hace Rodolfo (y yo también) es si es verdad su conjetura de que cualquier número entero puede ser escrito como suma de dos capicúas  (pudiendo ser uno de estos capicúas un capicúa especial)

Actualización (4/01/2017):. Lo que buscamos ahora es el menor número que no puede formarse sumando dos capicúas (pudiendo ser uno o los dos especiales, o no) si la conjetura es falsa, sino demostrar que es verdadera
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sábado, 31 de diciembre de 2016

1471 - Feliz año

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miércoles, 21 de diciembre de 2016

1470 -- 2017

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