lunes, 30 de junio de 2014

1329 - Resultados de la primera fase de un mundial

Hace cuatro años aproximadamente publiqué un problema en este blog titulado 69 - Resultados de la primera fase en el que preguntaba cuantas tablas de posiciones diferentes podían lograrse en una zona de cuatro equipos como las que hay en los mundiales. Habiamos obtenido junto a Pablo Sussi alrededor de 38 tablas diferentes.
El otor día leí un artículo en el blog Puzzlezapper en el que planteaba este mismo problema y logra la solución utilizando Grafos orientados :


La interpretación es la siguiente, cada punto es un equipo, las flechas indican que el equipo del cual salen ganó el partido, sino hay arista entre dos puntos indica que dichos equipos empataron, y los números de abajo los puntos obtenidos por cada uno de los equipos.

La cantidad total de grafos orientados es 42 , pero hay 40  grupos de resultados distintos ya que hay dos tablas (7-4.4.1 y 6.4.4.3) que se pueden formar de dos formas distintas, es decir que hay dos resultados que se pueden obtener con dos grafos diferentes.
     El autor del artículo nos cuenta que en el mundial 2010  no se repitió ninguna tabla en las ocho zonas de la primera fase y se pregunta que tan extraño es esto.

En primer lugar, nos cuenta, hay que tener en cuenta que cada grafo no tiene la misma probabilidad de aparecer, así por ejemplo el gráfico superior de la izquierda (9.6.3.0) que no tiene simetría puede ocurrir en una zona tantas veces como permutaciones haya de los cuatro equipos o sea 4!= 24, ya que en teoría cualquiera de los 4 equipos puede salir primero, cualquiera de los tres restantes puede salir segundo y asi sucesivamente, en tanto que el grafo mas simetrico que es el de abajo a la derecha (3.3.3.3) puede ocurrir de una sola forma en una zona (todos los partidos terminan empatados)
En general a mayor simetria del grafo, menor es el numero de formas de obtenerlo.

 Contando los resultados que pueden conseguirse con dos grafos, hay 2 tablas que pueden alcanzarse de 36 maneras, 21 que se pueden formar de 24 maneras, 9 que se forman de 12 maneras, 3 de 8 maneras, 2 de 6 maneras, 2 de 4 maneras y 1 que se alcanza de una sola manera. Si sumamos todas las variaciones obtenemos 729 = 36, que es el número en que seis partidos pueden darse.
Haciendo las cuentas nos da que para que en las ocho zonas se den 8 tablas diferentes la probabilidad es de alrededor del 40%.

Este año hubo dos zonas en las que se repitió la tabla de posiciones  


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viernes, 27 de junio de 2014

1328 - Mejor post del carnaval de matemáticas -Mayo 2014

Con mucho orgullo y felicidad les comento que ustedes y yo hemos ganado como mejor entrada al carnaval de matemáticas que en ésta oportunidad organizó el blog Gaussianos.
La entrada en cuestión es  1315 - Goligonos, goliedros y demás
Muchas gracias a todos los que la votaron y a todos los que siguen entrada tras entrada a este blog.


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jueves, 26 de junio de 2014

1327 - En la granja

En la granja de Donald tratan muy bien a los chanchos, tanto que dejan la puerta del chiquero abierta.Claro que cada día un chancho se le escapa, pero cada cuatro días vuelven a la granja dos chanchos, cada nueve días 3 chanchos mas se escapan, cada 16 días vuelven  cuatro chanchos extra, cada 25 días cinco chanchos mas se escapan y cada 36 días seis chanchos mas vuelven.

Si en un comienzo Donald tiene 200 chanchos, ¿Cuántos chanchos habrá en la granja después de 100 días?
¿Habrá un día en que no quede ningun chancho en la granja?

Visto en una página de internet hace un tiempo.
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miércoles, 18 de junio de 2014

1326 - Dos cuadrados mágicos para la fecha de hoy

Hoy es 18/06/2014 y aquí les dejo dos cuadrados mágicos en los que dicha fecha aparece en el renglón superior, en el primero todas las filas, columnas y diagonales suman 58, en tanto que en el segundo el producto de sus filas, columnas y diagonales da 30240.



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lunes, 16 de junio de 2014

1325 - Edad de un amigo de Facebook

  - Felicidades! me enteré por Facebook que cumplis años - le dijo Oscar a Germán, su amigo virtual
 - Gracias  (Me gusta)
- ¿Y cuántos cumplis?
- Mirá te lo voy a contestar en forma de puzzle, tengo aqui tantas tarjetas como años cumplo, y en cada tarjeta escribí un número desde el 1 hasta la edad que cumplo hoy.
- Ah, ya sé  me vas a decir la suma de todas las tarjetas!
- No, no te lo voy a hacer tan fácil.Vos sabes que yo tengo dos hijos que nacieron en años consecutivos, por lo tanto lo que voy a hacer es sacar las tarjetas que tienen escritas sus edades.
- Ah y me vas a decir cuantas tarjetas te quedan...
- No me vas a hacer pisar el palito, lo que te voy a decir es el valor de la suma de las cartas restantes...
- Bue, ¿y cuánto da esa suma?
- 2201
¿Que edad tiene Germán?

Basado en un problema de Anand Rao
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viernes, 13 de junio de 2014

1324 - Consecutivos

Con los números consecutivos podemos crear estas expresiones y creo que se puede seguir y seguir y seguir....

 

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miércoles, 11 de junio de 2014

1323 - Otra variante del puzzle anterior

En el sitio PrimePuzzles de Carlos Rivera apareció el siguiente problema:
Encontrar el menor conjunto de números primos diferentes tal que en dicho conjunto haya exactamente un "1", dos "2", tres "3",...y nueve "9" (El menor conjunto significa en este caso que la suma de los primos sea la menor posible) 

La variante que se me ocurrió en esta ocasión es que en vez de números primos sea el menor conjunto de números impares con esa condición
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lunes, 9 de junio de 2014

1322 - Variante sobre un puzzle de Carlos Rivera

En el sitio PrimePuzzles de Carlos Rivera apareció el siguiente problema:
Encontrar el menor conjunto de números primos diferentes tal que en dicho conjunto haya exactamente un "1", dos "2", tres "3",...y nueve "9" (El menor conjunto significa en este caso que la suma de los primos sea la menor posible) 

La variante que se me ocurrió es que en vez de números primos sea el menor conjunto de números pares con esa condición


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jueves, 5 de junio de 2014

1321 - Fractales

En la página doodal  se puede dibujar fractales sin mucho esfuerzo

En este video muestran como y que se puede dibujar:







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miércoles, 4 de junio de 2014

1320 - Subibaja


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lunes, 2 de junio de 2014

1319 - Expresar un número sin utilizar dicho número...pero en romanos

En los números romanos se utilizan los siguientes símbolos : 








La idea es mediante expresiones aritméticas y usando las operaciones fundamentales (suma, resta, división y multiplicación) formar todos los números sin usar los símbolos que dicho número utiliza para su representación.

Ejemplos :


Como verán trato de utilizar todos los símbolos restantes en las expresiones..

Preguntas:

1) ¿Cuál es el menor número que no se puede expresar usando solo símbolos que no están en él? (Si se usan todos los restantes es mejor, pero no es condición necesaria) ¿Cuál es el menor número que no se puede expresar así?
Obviamente que 1666 no puede expresarse de dicho modo ya que usa todos los símbolos

2) ¿Será posible si agregamos factoriales, potencias y el símbolo de raíz cuadrada a las expresiones, formar algun número que no pueda expresarse según las condiciones anteriores?
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